Question

6．已知函数y=sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$．
（1）用“五点法”作出该函数在一个周期内的简图；
（2）求函数的振幅、周期．
（3）当x取何值时，函数有最值，最值为多少？
（4）求出函数的单调区间．

Answer 1

分析 先由三角函数恒等变换化简函数解析式，由五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，根据正弦函数的图象和性质即可求得振幅，周期，最值及单调区间．

解答 解：（1）y=sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$），
根据题意列出表格得：

x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$）	0	$\sqrt{2}$	0	-$\sqrt{2}$	0

该函数在一个周期内的简图如下：

（2）由函数的图象和性质可得：函数的振幅为$\sqrt{2}$、周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（3）由函数的图象和性质可得：当x=2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z时，函数取最大值$\sqrt{2}$，当x=2k$π+\frac{7π}{2}$，k∈Z时，函数取最小值-$\sqrt{2}$．
（4）由函数的图象和性质可得：函数的单调递减区间是：[2k$π+\frac{3π}{2}$，2k$π+\frac{7π}{2}$]，k∈Z，函数的单调递增区间是：[2kπ-$\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{3π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．