Question

11．设△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，bc=2b²+2c²-2a²，a=1且sinB+sinC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，则b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 bc=2b²+2c²-2a²，利用余弦定理可得bc=2×2bccosA，解得cosA，可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．利用正弦定理及其sinB+sinC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，可得b+c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，与bc=2b²+2c²-2，联立解出即可．

解答 解：∵bc=2b²+2c²-2a²，
∴bc=2×2bccosA，
∴cosA=$\frac{1}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
又a=1，
∴$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{4}{\sqrt{15}}$，
∴$sinB=\frac{\sqrt{15}b}{4}$，$sinC=\frac{\sqrt{15}c}{4}$，
∵sinB+sinC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴b+c=$\frac{\sqrt{10}}{2}×\frac{4}{\sqrt{15}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{b+c=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\\{2{b}^{2}+2{c}^{2}-2=bc}\end{array}\right.$，
解得b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．