Question

18． 如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的点，AC是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）过C点作CM⊥AB，垂足为M，求证：AM•MB=DF•DA．

Answer 1

分析 （1）连OC证明OC⊥CD，即可说明CD是圆O的切线．
（2）利用切割线定理，以及射影定理证明AM•MB=DF•DA．

解答 证明：（1）连OC∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∵∠FAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，
∴CD是圆O的切线   …（5分）
（2）∵AC平分∠PAB，
 CM⊥AB，
CD⊥AF，
∴CD=CM，
又根据切割线定理有CD²=DF•DA，
∵△ACB为直角三角形且CM⊥AB，
∴CM²=AM•MB．
∴AM•MB=DF•DA   …（10分）

点评 本题考查圆的切线的证明，切割线定理以及射影定理的应用，考查逻辑推理能力．