Question

3．定义空间两个向量的一种运算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中：
①$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$；     
②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）=（λ$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow{b}$；  
③（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$）；
④若$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），则$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|x₁y₂-x₂y₁|．
其中恒成立的有（　　）

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①和②需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；③由定义验证若$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，且λ＞0，结论成立，从而得到原结论不成立；④根据数量积求出cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，再由平方关系求出sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞的值，代入定义进行化简验证即可．

解答 解：对于①，$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$═|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{a}$|sin＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞，
故$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$恒成立；
对于②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）=λ（|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞），（λ$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow{b}$=|λ||$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sin＜λ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，
故λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）=（λ$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow{b}$不会恒成立；
对于③，若$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，且λ＞0，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=（1+λ）|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|sin＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞，
（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$）=|$λ\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|sin＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞+|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|sin＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=（1+λ）|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|sin＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞，
显然（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$）不会恒成立；
对于④，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\sqrt{1-（\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}）^{2}}$，
即有$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•$\sqrt{1-（\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}）^{2}}$=|$\overrightarrow{a}$|•$\sqrt{|\overrightarrow{b}{|}^{2}-（\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-（\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}）^{2}}$
=$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}}$=|x₁y₂-x₂y₁|．
则$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|x₁y₂-x₂y₁|恒成立．
综上可得，①④恒成立．
故选A．

点评 本题考查了向量的数量积和向量的模的公式，利用给出的定义进行证明结论，计算量很大．