Question

5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图，令${a_n}=f（\frac{nπ}{6}）$，则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=0．

Answer 1

分析 利用三角函数的图象求解函数的解析式，然后求解数列的项，找出数列的特征，然后求和．

解答 解：由图象可知，$\frac{1}{4}$T=$\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}$，解得T=π，故有=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2．
函数的图象过点（$\frac{π}{6}$，1）故有1=sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），|φ|＜$\frac{π}{2}$，故可解得φ=$\frac{π}{6}$，
从而有f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．a₁=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=1，a₂=sin（2×$\frac{2π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
a₃=sin（2×$\frac{3π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，a₄=sin（2×$\frac{4π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=-1，
a₅=sin（2×$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，a₆=sin（2×$\frac{6π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
a₇=sin（2×$\frac{7π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=1，a₈=sin（2×$\frac{8π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…；
观察规律可知a_n的取值6为周期，且有一个周期内的和为0，且2014=6×335+4，
所以有：a₂₀₁₄=sin（2×$\frac{2014π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=-1．
则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=1+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1$=0．
故答案为：0．

点评 本题考查数列与三角函数相结合，函数的解析式的求法，数列的特征是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．