Question

17．已知曲线E上的任意一点到F₁（0，-$\sqrt{3}$）和点F₂（0，$\sqrt{3}$）的距离之和为4．
（1）求曲线E的方程
（2）已知点A（0，2），C（1，0），设直线y=kx（k＞0）与曲线E交于B，D两点（B在第一象限）．求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（2）求出直线AC的方程，将直线y=kx（k＞0）与曲线E联立，求得B，D的坐标，运用点到直线的距离公式，求得B，D到直线AC的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积的最大值．

解答 解：（1）由椭圆的定义可知，曲线E是以F₁，F₂为焦点的椭圆，
且2a=4，即a=2，
c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
即有曲线E的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（2）连接AC，直线AC：x+$\frac{y}{2}$=1，即2x+y-2=0，
由y=kx代入椭圆方程可得，x=$±\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，
即有B（$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$），D（-$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$），
B到AC的距离为d₁=$\frac{|\frac{4}{\sqrt{4+{k}^{2}}}+\frac{2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2|2+k-\sqrt{4+{k}^{2}}|}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{k}^{2}}}$，
D到AC的距离为d₂=$\frac{2|2+k+\sqrt{4+{k}^{2}}|}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{k}^{2}}}$．
则四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$|AC|•（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{5}$•$\frac{4（2+k）}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{k}^{2}}}$
=$\frac{2（2+k）}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{1+\frac{4}{k+\frac{4}{k}}}$≤2$\sqrt{1+\frac{4}{2\sqrt{4}}}$=2$\sqrt{2}$．
当且仅当k=2取得等号．
即四边形ABCD面积的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程和直线方程联立求交点，同时考查点到直线的距离公式的运用和基本不等式的运用，属于中档题．