Question

10．已知圆M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，点N（$\sqrt{3}$，0），点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线MP于点Q，设动点Q的轨迹为C
（Ⅰ）求C的方程
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与轨迹C交于G，H两点，O为坐标原点，若△GOH的重心恰好在圆x²+y²=$\frac{4}{9}$上，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图，通过|QP|=|QN|，|MQ|+|QN|=|MP|=4，可知点Q的轨迹是以M、N为焦点，长轴长等于4的椭圆，即得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），联立直线l与椭圆C的方程，由韦达定理得x₁+x₂，从而可得y₁+y₂，及△GOH的重心的坐标并将其代入圆的方程，通过计算得${m}^{2}=\frac{（1+4{k}^{2}）^{2}}{1+16{k}^{2}}$＜1+4k²（k≠0），利用不等式即得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）如图，∵|QP|=|QN|，∴|MQ|+|QN|=|MP|=4，
故点Q的轨迹是以M、N为焦点，长轴长等于4的椭圆，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设点G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由韦达定理，得x₁+x₂=$-\frac{8mk}{1+4{k}^{2}}$，所以y₁+y₂=$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，
所以△GOH的重心的坐标为（$\frac{-8mk}{3（1+4{k}^{2}）}$，$\frac{2m}{3（1+4{k}^{2}）}$），
∴[$\frac{-8mk}{3（1+4{k}^{2}）}$]²+[$\frac{2m}{3（1+4{k}^{2}）}$]²=$\frac{4}{9}$，
整理得：${m}^{2}=\frac{（1+4{k}^{2}）^{2}}{1+16{k}^{2}}$   ①
依题意△=（8mk）²-16（m²-1）（1+4k²）=16（1+4k²-m²）＞0，得m²＜1+4k²   ②
由①、②易得k≠0，
设t=1+16k² （t＞1），则$1+4{k}^{2}=\frac{t+3}{4}$，
所以m²=$\frac{t+\frac{9}{t}+6}{16}$$≥\frac{2\sqrt{t•\frac{9}{t}}+6}{16}$=$\frac{3}{4}$，当且仅当t=3取等号，
所以实数m的取值范围是$（-∞，-\frac{\sqrt{3}}{2}]∪[\frac{\sqrt{3}}{2}，+∞）$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查韦达定理、基本不等式、直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，注意积累解题方法，属于中档题．