Question

12．设O为坐标原点，点$A（{\frac{1}{4}，1}），若M（{x，y}）$满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥2\\ x≤1\\ y≤2\end{array}\right.，则\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OA}$的最小值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由题意作出其平面区域，由$\overrightarrow{OM}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{1}{4}$，1），从而令z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{4}x$+y，再化为y=-$\frac{1}{4}x$+z，z相当于直线y=-$\frac{1}{4}x$+z的纵截距，由几何意义可得．

解答 解：由题意作出其平面区域，

$\overrightarrow{OM}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{1}{4}$，1），
故令z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{4}x$+y；
可化为y=-$\frac{1}{4}x$+z，
故过点E（1，1）时，
z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{4}x$+y有最小值$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$；
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了简单线性规划及向量的数量积的应用，作图要细致认真，属于中档题．