Question

2．已知函数 f（x）=$\frac{a}{x}+xlnx，g（x）={x^3}-{x^2}$-5，若对任意的 ${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x-x²lnx在$\frac{1}{2}$≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x-x²lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．

解答 解：函数g（x）的导数g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），∴函数g（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]上递减，则[$\frac{2}{3}$，2]上递增，
g（[$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-5=-\frac{41}{8}$，g（2）=8-4-5=-1，
若对任意的 ${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立，
即当$\frac{1}{2}$≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，
即$\frac{a}{x}+xlnx≥1$恒成立，
即a≥x-x²lnx在$\frac{1}{2}$≤x≤2上恒成立，
令h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x，h′′（x）=-3-2lnx，
当在$\frac{1}{2}$≤x≤2时，h′′（x）=-3-2lnx＜0，
即h′（x）=1-2xlnx-x在$\frac{1}{2}$≤x≤2上单调递减，
由于h′（1）=0，
∴当$\frac{1}{2}$≤x≤1时，h′（x）＞0，
当1≤x≤2时，h′（x）＜0，
∴h（x）≤h（1）=1，
∴a≥1．
故选：B．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．