Question

10．给定区域D：$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+k≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，（k为非负实数），若对于区域D内的任意一个点M（x，y），恒有2x-5y+10k+15＞0成立；且在区域D内存在点N（x₀，y₀），满足-7x₀+2y₀-5k²+2＞0，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [0，1）
• B． （$\frac{1}{5}$，1）
• C． [0，$\frac{1}{5}$）
• D． （$\frac{1}{5}$，+∞）

Answer 1

分析 对于区域D内的任意一个点M（x，y），恒有2x-5y+10k+15＞0成立可化为（2x-5y）_min＞-10k-15；在区域D内存在点N（x₀，y₀），满足-7x₀+2y₀-5k²+2＞0可化为（-7x₀+2y₀）_max＞5k²-2；故由题意作出区域D，从而由线性规划化为最优解，从而求最值即可．

解答 解：由题意作出区域D如图，且A（-$\frac{k}{3}$，$\frac{k}{3}$），B（2，-2），C（2，k+4），
设z₁=2x-5y，则y=$\frac{2}{5}$x-$\frac{1}{5}$z₁，
当直线y=$\frac{2}{5}$x-$\frac{1}{5}$z₁过点C（2，k+4）时，其在y轴上的截距-$\frac{1}{5}$z₁最大，即z₁最小为-5k-16，
由2x-5y+10k+15＞0恒成立知，-5k-16＞-10k-15，即k＞$\frac{1}{5}$；
设z₂=-7x+2y，则y=$\frac{7}{2}$x+$\frac{{z}_{2}}{2}$，
当直线y=$\frac{7}{2}$x+$\frac{{z}_{2}}{2}$过点A（-$\frac{k}{3}$，$\frac{k}{3}$）时，其在y轴上的截距$\frac{{z}_{2}}{2}$最大，即z₂最大，此时z₂=3k；
故存在点N（x₀，y₀），满足-7x₀+2y₀-5k²+2＞0可化为3k-5k²+2＞0，
故-$\frac{2}{5}$＜k＜1，
综上所述，$\frac{1}{5}$＜k＜1；
故选B．

点评 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于难题．