Question

5．如图所示，已知直线l：y=kx-1（k＞0）与抛物线C：x²=4y交与M，N两点，F为抛物线C的焦点，若|MF|=2|NF|，则实数k的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 直线l：y=kx-1（k＞0）即为x=$\frac{1}{k}$（y+1），代入抛物线方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由判别式大于0，韦达定理及抛物线的定义，解方程即可得到k，注意检验判别式．

解答 解：直线l：y=kx-1（k＞0）即为x=$\frac{1}{k}$（y+1），
代入抛物线方程，可得y²+（2-4k²）y+1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则判别式（2-4k²）²-4＞0，
y₁+y₂=4k²-2①，y₁y₂=1②，
由于抛物线的准线为y=-1，
则有抛物线的定义可得，
|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
由|MF|=2|NF|，即有y₁+1=2（y₂+1）③，
由①②③解得k²=$\frac{9}{8}$，检验判别式大于0成立，
则k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故选D．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．