Question

15．a＞0，且2a²+b²=1，求a$\sqrt{1+b{\;}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 先求出1-a²＞0，将b²=1-2a²代入代数式a$\sqrt{1+b{\;}^{2}}$得到$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（1{-a}^{2}）}$，利用基本不等式的性质，从而求出最大值．

解答 解：∵b²=1-2a²≥0，a＞0，
∴1-a²＞0，
∴a$\sqrt{1{+b}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}（1{+b}^{2}）}$
=$\sqrt{{a}^{2}{+a}^{2}（1-{2a}^{2}）}$
=$\sqrt{{2a}^{2}（1{-a}^{2}）}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（1{-a}^{2}）}$
≤$\sqrt{2}$•$\frac{{a}^{2}+1{-a}^{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当a²=1-a²时，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，“=”成立．

点评 本题考查了基本不等式性质的应用，将代数式a$\sqrt{1+b{\;}^{2}}$变形为$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（1{-a}^{2}）}$是解题的关键，本题属于基础题．