Question

10．给出下列四个命题（　　）
①命题ρ：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＜1．
②当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为非空．
③当x＞1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}≥2$．
④设复数z满足（1-i）z=2i，则z=1-i
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据全称命题的否定，绝对值的性质，基本不等式，复数的运算，逐一分析四个命题的真假，综合可得答案．

解答 解：①若命题ρ：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＞1，故错误．
②|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，故当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为非空．故正确；
③当x＞1时，lnx＞0，$\frac{1}{lnx}＞0$，由基本不等式可得lnx+$\frac{1}{lnx}≥2$，故正确．
④设复数z满足（1-i）z=2i，则z=$\frac{2i}{1-i}$=$\frac{2i（1+i）}{2}$=-1+i≠1-i，故错误；
故真命题的个数为2个，
故选：B．

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了全称命题的否定，绝对值的性质，基本不等式，复数的运算，难度不大，属于基础题．