Question

20．已知函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中0＜ω＜$\frac{1}{2}$，x∈R），且有f（5π）=-$\sqrt{3}$；
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（5α+$\frac{5}{3}$π）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5}{6}$π）=$\frac{16}{17}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件求得cos（5πω+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合0＜ω＜$\frac{1}{2}$，求得ω的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值、cosβ 和sinβ的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（α+β）的值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$），由f（5π）=2cos（5πω+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{3}$，且0＜ω＜$\frac{1}{2}$，
可得cos（5πω+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且0＜ω＜$\frac{1}{2}$，∴ω=$\frac{1}{5}$．
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=10π．
（2）∵α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
f（5α+$\frac{5}{3}$π）=2cos[$\frac{1}{5}$（5α+$\frac{5π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-2sinα=-$\frac{6}{5}$，
∴sinα=$\frac{3}{5}$，∴cosα=$\frac{4}{5}$．
又∵f（5β-$\frac{5}{6}$π）=2cos[$\frac{1}{5}$（5β-$\frac{5π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2cosβ=$\frac{16}{17}$，
∴cosβ=$\frac{8}{17}$，∴sinβ=$\frac{15}{17}$．
故cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{4}{5}×\frac{8}{17}$-$\frac{3}{5}×\frac{15}{17}$=-$\frac{13}{85}$．

点评 本题主要考查三角函数的周期性及其求法，两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．