Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$为常数，则称数列{a_n}为和谐数列，若一个首项为1，公差为d（d≠0）的等差数列为和谐数列，则该等差数列的公差d=2．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），再设$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，由a₁=1，得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．结合对任意正整数n上式恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，
由此能求出数列{a_n}的公差．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，且a₁=1，
得n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=k[2n+$\frac{1}{2}$2n（2n-1）d]，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
∵对任意正整数n上式恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$．
∴数列{a_n}的公差为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了等差数列的前n项和，考查了恒成立思想的运用，考查了计算能力，属中档题．