Question

3．设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（ I）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）+3|x-4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）分类讨论当x≥4时，当$-\frac{1}{2}≤x＜4$时，当$x＜-\frac{1}{2}$时，求解原不等式的解集．
（II）利用绝对值三角不等式求出最值，可得m的范围，

解答 解：（ I）当x≥4时，f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0，得x＞-5，所以x≥4成立．
当$-\frac{1}{2}≤x＜4$时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立．
当$x＜-\frac{1}{2}$时，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以x＜-5成立．
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜-5}．…5分
（II）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9．
当$x≥4或x≤-\frac{1}{2}时等号成立$，所以m＜9．…10分．

点评 本题考查函数的最值，极大值不等式的解法以及转化思想的应用，考查计算能力．