Question

18．某水泥渠道的横截面为等腰梯形，上部宽下部窄，为保证额定流量，须使截面面积S为定值，若梯形的腰与下底的夹角为120°，为使水泥用料最省，需过水四周（即横截面的下底宽与两腰之和）最短，问此时腰长与下底宽之比是多少？

Answer 1

分析 根据题意得出下底为x，腰长为l，高位h，x=$\frac{2S}{\sqrt{3}l}$$-\frac{l}{2}$，h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，列出函数关系式g（l）=2l+x=$\frac{3}{2}$l$+\frac{2S}{\sqrt{3}l}$运用基本不等式求解即可．

解答 解：设下底为x，腰长为l，高位h，
根据题意得出；h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
$\frac{1}{2}×$（1+x+x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$l=S，
化简得出；x=$\frac{2S}{\sqrt{3}l}$$-\frac{l}{2}$，0$＜l＜2\sqrt{S}$
∴过水四周g（l）=2l+x=$\frac{3}{2}$l$+\frac{2S}{\sqrt{3}l}$≥2$\sqrt{\sqrt{3}S}$，（此时l²=$\frac{4S}{3\sqrt{3}}$）
∵x=$\frac{2S}{\sqrt{3}l}$$-\frac{l}{2}$，
∴$\frac{x}{l}$=$\frac{2S}{\sqrt{3}{l}^{2}}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{2S}{\sqrt{3}×\frac{4S}{3\sqrt{3}}}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{2}=1$，
即当$\frac{l}{x}$=1时，过水四周g（l）=2l+x最小值为2$\sqrt{\sqrt{3}S}$．

点评 本题综合考查了函数不等式在实际问题中的应用，属于应用题目，关键是仔细阅读题意，列出函数关系式，转化为基本不等式即可．