Question

3．已知函数g（x）=x³-ax²+2（a＜2）在[-2，1]内有零点，则实数a的取值范围是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$≤a＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数的零点判定定理得出：g（-2）g（1）≤0，求解不等式即可得出答案（3+2a）（3-a）≥0．

解答 解：∵函数g（x）=x³-ax²+2（a＜2）在[-2，1]内有零点，
∴g^′（x）=3x²-2ax，a＜2，
g^′（x）=3x²-2ax=0，x=0，x=$\frac{2a}{3}$，
g^′（x）=3x²-2ax＞0，x＜0或x$＞\frac{2a}{3}$，
g^′（x）=3x²-2ax＜0，0$＜x＜\frac{2a}{3}$，
∴函数g（x）=x³-ax²+2（a＜2）在[-2，0]的递增，在[0，$\frac{2a}{3}$]单调递减，
∵（a＜2）在[-2，1]内有零点，f（0）=2＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}≥1}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}＜1}\\{f（\frac{2a}{3}）≤0}\end{array}\right.$
∴a≥3或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$≤a＜\frac{3}{2}$，
∵a＜2
∴实数a的取值范围是：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$≤a＜\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$≤a＜\frac{3}{2}$，

点评 本题综合考查了函数的性质，不等式，函数的零点的判定定理，难度不是很大，属于中档题，关键是理解题意．