Question

8．命题p：“?x∈（0，+∞），有9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$≥7a+1，其中常数a＜0”，若命题q：“?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0”
若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 首先，分别判断两个命题为真命题时，a的取值范围，然后，结合“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和命题q一真一假，分情况进行讨论完成结果．

解答 解：∵a＜0，若p为真命题，则（9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$）_min≥7a+1，
又∵9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$≥2$\sqrt{9x•\frac{{a}^{2}}{x}}$=|6a|=-6a，
∴-6a≥7a+1，
∴a≤-$\frac{1}{13}$，
若q为真命题，则方程x²+2ax+2-a=0有实根，
∴△=4a²-4（2-a）≥0，
即a≥1或a≤-2，
若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和命题q一真一假
∴当p真q假时，则$\left\{\begin{array}{l}a≤-\frac{1}{13}\\-2＜a＜1\end{array}\right.$，
∴-2＜a≤-$\frac{1}{13}$，
当p假q真时，则$\left\{\begin{array}{l}a＞-\frac{1}{13}\\ a≤-2，或a≥1\end{array}\right.$，
∴a≥1，
综上，符合条件的a的取值范围为（-2，-$\frac{1}{13}$]∪[1，+∞）．

点评 本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的真假判断等知识，属于中档题，解题关键是准确判断符合命题的真假情形．