Question

1．已知函数f（x）=（x-a）（x-b），其中a＜b则下列关于f（x）的说法正确的是（　　）

• A． 若函数f（x）在区间（m，n）内只有一个零点，则必有f（m）f（n）＜0
• B． 若函数f（x）在区间（m，n）内有两个零点，则必有f（m）f（n）＜0
• C． 若函数y=f（x）-t（t＞0）在R上有两个零点α，β（α＜β），则必有α＜a＜b＜β
• D． 若函数y=f（x）-t在R上有两个零点α，β（α＜β），则存在实数t，使得α+β＞a+b

Answer 1

分析 由于函数f（x）=（x-a）（x-b），其中a＜b，令f（x）=0，可得x=a或b，因此函数f（x）有两个零点．
A．若函数f（x）在区间（m，n）内只有一个零点，则必有f（m）f（n）≤0，即可判断出正误；
B．若函数f（x）在区间（m，n）内有两个零点，则必有f（m）f（n）＞0，即可判断出正误；
C．函数f（x）=t（t＞0）在R上有两个零点α，β（α＜β），则必有α＜a＜b＜β，即可判断出正误；
D．函数f（x）=t在R上有两个零点α，β（α＜β），根据对称性可得：α+β=a+b，即可判断出正误．

解答 解：由于函数f（x）=（x-a）（x-b），其中a＜b，令f（x）=0，可得x=a或b，因此函数f（x）有两个零点．
A．函数f（x）在区间（m，n）内只有一个零点，则必有f（m）f（n）≤0，因此不正确；
B．若函数f（x）在区间（m，n）内有两个零点，则必有f（m）f（n）＞0，因此不正确；
C．函数f（x）=t（t＞0）在R上有两个零点α，β（α＜β），则必有α＜a＜b＜β，正确；
D．函数f（x）=t在R上有两个零点α，β（α＜β），则α+β=a+b，因此不存在实数t，使得α+β＞a+b，不正确．
故选：C．

点评 本题考查了函数零点存在定理、二次函数的零点与对称性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于中档题．