Question

16．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=6，且|$\overrightarrow{AB}$|=2，则|$\overrightarrow{AC}$|=（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据已知条件$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$，所以便可得到$\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）•\overrightarrow{BC}=6$，从而可求出${\overrightarrow{BC}}^{2}$，所以根据△ABC为直角三角形即可求出$|\overrightarrow{AC}|$．

解答 解：如图，
∵D为AC的中点，∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$；
∴根据已知条件得，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}=6$；
∴${\overrightarrow{BC}}^{2}=12$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+12}=4$．
故选：C．

点评 考查向量数乘、向量减法的几何意义，两非零向量垂直的充要条件，数量积的运算，以及直角三角形边的关系．