Question

6．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
（1）试写出f（x）的周期及单调增区间；
（2）若{x|f（x）=a，0≤x≤$\frac{π}{4}$}≠∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的周期及单调增区间．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域，可得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的增区间为[得kπ-$\frac{5π}{12}$，2kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z．
（2）由{x|f（x）=a，0≤x≤$\frac{π}{4}$}≠∅，可得f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的图象和直线y=a有交点．
在[0，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[2，3]，
∴a∈[2，3]．

点评 本题主要正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．