Question

3．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{2x+y-2≥0}\\{3x-y-5≤0}\end{array}\right.$若目标函数z=mx+3y（0＜m＜3）的最大值为15，则实数m的值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过图象平移确定目标函数的最大值，解方程即可．

解答 解：由z=mx+3y，得y=$-\frac{m}{3}$x+$\frac{z}{3}$，作出不等式对应的可行域，
∵0＜m＜3，∴-1＜$-\frac{m}{3}$＜0，
平移直线y=$-\frac{m}{3}$x+$\frac{z}{3}$，由平移可知当直线y=$-\frac{m}{3}$x+$\frac{z}{3}$，经过点A时，
直线y=$-\frac{m}{3}$x+$\frac{z}{3}$，的截距最大，此时z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=6}\end{array}\right.$，得A（-2，6），
将A（-2，6）代入z=mx+3y，得z=-2m+3×6=18-2m，
∵即目标函数z=mx+3y的最大值为15．
∴18-2m=15，解得m=$\frac{3}{2}$
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．