Question

14．已知角α，β满足$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{7}{13}$，若sin（α+β）=$\frac{2}{3}$，则sin（α-β）的值为-$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 设sin（α-β）=x，由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系求出x的值，即为所求．

解答 解：设sin（α-β）=x，即 sinαcosβ-cosαsinβ=x ①，
则由sin（α+β）=$\frac{2}{3}$，可得sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{2}{3}$ ②，
由①②求得sinαcosβ=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{3}$，cosαsinβ=$\frac{1}{3}$-$\frac{x}{2}$．
再由 $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{7}{13}$=$\frac{sinαcosβ}{cosαsinβ}$=$\frac{\frac{x}{2}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\frac{x}{2}}$，求得x=-$\frac{1}{5}$，
故答案为：-$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，注意利用解方程的方法，属于基础题．