Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}AD=1，CD=\sqrt{3}$，M是棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面MQB；
（Ⅱ）求三棱锥P-DQM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN，证明MN∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面MQB．
（Ⅱ）利用V_P-DQM=V_M-PDQ，求出M到平面PAD的距离为$\frac{1}{2}CD$，然后求解体积．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN，∵BC∥AD且$BC=\frac{1}{2}AD$，即BC∥AQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又因为点M是棱PC的中点，
∴MN∥PA，因为 MN?平面MQB，PA?平面MQB，则PA∥平面MQB；…6 分
（Ⅱ）V_P-DQM=V_M-PDQ，证明出CD⊥平面PAD所以M到平面PAD的距离为$\frac{1}{2}CD$…9 分
所以${V_{P-DQM}}={V_{M-PDQ}}=\frac{1}{3}{S_{△PDQ}}•\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}QD•PQ•\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{3}•1•\frac{1}{2}•\sqrt{3}=\frac{1}{4}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．