Question

6．函数f（x）=x²+bx的图象在点A（l，f（1））处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为Sn，则S₂₀₁₅=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{2013}{2014}$
• C． $\frac{2014}{2015}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 由f′（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列{$\frac{1}{f（n）}$}的通项公式，计算可得答案．

解答 解：f′（x）=2x+b，
由直线3x-y+2=0可知其斜率为3，
根据题意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x²+x，
从而数列{$\frac{1}{f（n）}$}的通项为$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以S₂₀₁₅=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故选：D．

点评 本题考查数列的求和，导数的几何意义，属于中档题．