Question

18．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在交点处存在公切线，则函数g（x）在（1，g（1））处的切线在y轴上的截距为（　　）

• A． -$\frac{2}{3e}$
• B． $\frac{2}{3e}$
• C． -$\frac{{e}^{3}+2}{3e}$
• D． $\frac{{e}^{2}+2}{3e}$

Answer 1

分析 设交点为（m，mlnm），分别求出f（x），g（x）的导数，由题意可得切线的斜率相等且切点重合，得到m，a的方程，消去a，可得1+emlnm=0，令h（x）=1+exlnx，运用求得，判断单调区间，即可得到m=$\frac{1}{e}$，进而得到a的值，再求g（x）的导数和在（1，g（1））处的切线斜率和切点，求得切线方程，令x=0，即可得到所求截距．

解答 解：设交点为（m，mlnm），
函数f（x）=xlnx的导数为f′（x）=lnx+1，
g（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$的导数为g′（x）=3ax²-$\frac{1}{2}$，
由题意可得，1+lnm=3am²-$\frac{1}{2}$，且mlnm=am³-$\frac{1}{2}$m-$\frac{2}{3e}$，
消去a，可得1+emlnm=0，
令h（x）=1+exlnx，h′（x）=e（lnx+1），
当x＞$\frac{1}{e}$时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=$\frac{1}{e}$处h（x）取得极小值，也为最小值，且为0．
则1+emlnm=0，解得m=$\frac{1}{e}$，
代入1+lnm=3am²-$\frac{1}{2}$，可得a=$\frac{1}{6}$e²．
即有g（x）=$\frac{{e}^{2}}{6}$x³-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{2}}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，
则在（1，g（1））处的切线斜率为k=$\frac{{e}^{2}-1}{2}$，
切点为（1，$\frac{{e}^{2}}{6}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3e}$）．
则在（1，g（1））处的切线方程为y-（$\frac{{e}^{2}}{6}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3e}$）=$\frac{{e}^{2}-1}{2}$（x-1）．
令x=0，可得y=-$\frac{{e}^{3}+2}{3e}$．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查导数的运用：求最值，正确求导和化简整理的运算是解题的关键．