Question

10．设平面区域D是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x-y-3≤0}\end{array}\right.$的解集，将D绕直线x-y=0旋转一周后所得几何体的体积等于（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\sqrt{2}$π
• C． 2$\sqrt{2}$π
• D． 3$\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 根据线性规划知识作出符合题意的平面区域为D，再想象出所得旋转体的结构特征，根据题意和图求出旋转体的几何元素的长度，再求出它的体积．

解答 解：在坐标系中画出平面区域为D如下图中阴影部分（OBC）
阴影部分绕直线x-y=0旋转一周后所得几何体为圆锥，
由图得C（3，3），B（1，-1），
则圆锥底面半径OB=$\sqrt{2}$，高OC=$3\sqrt{2}$
则圆锥的体积为$\frac{1}{3}$π（$\sqrt{2}$）²×$3\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$π，
故选：C

点评 本题是综合题，关键利用线性规划知识正确作图，并能想象出所得旋转体为圆锥，再求它的体积．