Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象关于点（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对称，则m的值可能为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{7π}{6}$
• D． $\frac{7π}{12}$

Answer 1

分析 由函数图象观察可得A，B，T，由周期公式可求得ω，又点（$\frac{π}{6}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）在函数图象上，解得：φ=2kπ$+\frac{π}{6}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求得φ的值，由平移变换可得g（x），由g（x）的图象关于点（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对称，可解得m的值，从而得解．

解答 解：∵由函数图象可得：A=$\frac{1}{2}$[$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）]=$\sqrt{3}$，T=2（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，可得ω=2，B=$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵点（$\frac{π}{6}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）在函数图象上，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：$\frac{π}{3}$+φ=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，从而解得：φ=2kπ$+\frac{π}{6}$，k∈Z
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数解析式为：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴g（x）=f（x+m）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵g（x）的图象关于点（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对称，
∴2×$\frac{π}{3}$+2m+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，可解得：m=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴当k=2a时，m=$\frac{7π}{12}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的平移变换，正弦函数的周期性，对称性，求φ的值是解题的关键和难点，属于基本知识的考查．