Question

18．函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{x}{2}$的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先根据函数的奇偶性，排除AD，再根据函数的单调性排除C，问题得以解决．

解答 解：f（x）定义域为{x|x≠0}，
∵f（-x）=$\frac{-x}{{e}^{-x}-1}$+$\frac{-x}{2}$=-x（$\frac{{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）=-x（-$\frac{{e}^{x}-1+1}{{e}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-x（-$\frac{1}{{e}^{x}-1}$-1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{x}{2}$=f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴函数f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，D；
∵f′（x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{{e}^{2x}-2x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
设g（x）=e^2x-2xe^x-1，
∴g′（x）=2e^x（e^x-x-1）＞0，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，排除C，
故选：B

点评 本题考查了函数的图象的性质，常用的方法是求出函数的奇偶性，函数的单调性，函数的最值，属于中档题．