Question

10．设函数f（x）定义域为D，若存在非零实数t，使得对任意x∈M（M⊆D），都有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x）成立，则称f（x）为M上的“t频函数”．若f（x）=2x²为区间$[-\frac{1}{2}，+∞）$上的“t频函数”，则t的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 根据t频函数的定义即可得到对于任意的x∈$[-\frac{1}{2}，+∞）$，存在非零实数t使得2（x+t）²≥2x²成立，将该不等式整理成2tx+t²≥0，显然需t＞0，所以需函数2tx+t²的最小值t²-t≥0，所以解出该不等式即得t的取值范围．

解答 解：f（x）=2x²的定义域为R；
根据t频函数的定义，存在非零实数t＞0，使得：
对任意的x∈$[-\frac{1}{2}，+∞）$，都有x+t$∈[-\frac{1}{2}，+∞）$，且f（x+t）≥f（x）；
即2（x+t）²≥2x²在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立；
将该不等式整理成：2tx+t²≥0；
设g（x）=2tx+t²，
∵t＞0，∴g（x）=2tx+t²，为区间$[-\frac{1}{2}，+∞）$上的增函数，
则g（$-\frac{1}{2}$）=t²-t是g（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上的最小值；
∴t²-t≥0；
解得t≥1，或t≤0（舍去）；
∴实数t的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评 考查对t频函数的理解，熟练掌握一次函数的图象，及一次函数的单调性，根据单调性求函数的最值．