Question

7．数列{a_n}的前n项和记为S_n，对任意的正整数n，均有4S_n=（a_n+1）²，且a_n＞0．
（1）求a₁及{a_n}的通项公式；
（2）令b${\;}_{n}=（-1）^{n-1}\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，即得a₁=1；当n≥2时，由递推关系得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，从而可得结论；
（2）b${\;}_{n}=（-1）^{n-1}\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（-1）^{n-1}\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），对n分奇偶数讨论即可．

解答 解：（1）当n=1时，$4{S}_{1}=（{a}_{1}+1）^{2}$，则a₁=1；
当n≥2时，由4S_n=（a_n+1）²，知4S_n-1=（a_n-1+1）²，
联立两式，得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
化简得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0，
即{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，
故a_n=2n-1；
（2）b${\;}_{n}=（-1）^{n-1}\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（-1）^{n-1}\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
下面对n分奇偶数讨论：
当n为偶数时，T_n=（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$）-（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=$1-\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$，
当n为奇数时，T_n=（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+…-（$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$）+（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=$1+\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n+2}{2n+1}$，
所以T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n+2}{2n+1}，}&{n为奇数}\\{\frac{2n}{2n+1}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查求数列的通项公式及前n项和，分类讨论的思想，属于中档题．