Question

16．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}bsinC+ccosB=2c$．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，a+c=4，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得$\sqrt{3}$sinBsinC+sinCcosB=2sinC，由sinC≠0，可得sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，结合B的范围即可求得B的值．
（Ⅱ）由S=$\sqrt{3}$，解得ac=4，结合a+c=4，即可解得c，a的值，由余弦定理即可求b的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}bsinC+ccosB=2c$．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBsinC+sinCcosB=2sinC．
∴由C为三角形内角，sinC≠0，可得：$\sqrt{3}$sinB+cosB=2，既有：2sin（B+$\frac{π}{6}$）=2，
∴．B+$\frac{π}{6}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴由0＜B＜π，可解得：B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得B=$\frac{π}{3}$．
∵S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×ac×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，解得ac=4，①
又∵a+c=4，②a=4-c，代入①可解得：c=2，a=2，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=4+4-4=4，可解得：b=2．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．