Question

12．定义全集U的子集A的特征函数为f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$，这里∁_UA表示集合A在全集U中的补集，已知A⊆U，B⊆U，给出以下结论：
①函数f_A（x）的值域为{0，1}；
②若A⊆B，则对于任意的x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）；
③对于任意的x∈U，都有${f}_{{∁}_{U}A}$（x）=1-f_A（x）；
④对于任意的x∈U，都有f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）．
其中正确的结论有①②③④（写出全部正确结论的序号）

Answer 1

分析 根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对①、②、③、④各项中的运算加以验证，可得A、B、C都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．

解答 解：由题意，可得函数f_A（x）的值域为{0，1}；故①正确，
对于②，因为A⊆B，可得x∈A则x∈B，
∵f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x{∈C}_{U}^{A}}\end{array}\right.$，f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x{∈C}_{U}^{B}}\end{array}\right.$，
而C_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即对于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故②正确；
对于③，因为${f}_{{C}_{U}^{A}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x{∈C}_{U}^{A}}\\{0，x∈A}\end{array}\right.$，结合f_A（x）的表达式，可得f CUA=1-f_A（x），故B正确；
对于④，f_A∩B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{0，x{∈}_{{C}_{U}}（A∩B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{0，x∈{（C}_{U}A）∪{（C}_{U}B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x{∈C}_{U}A}\end{array}\right.$•$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x{∈C}_{U}B}\end{array}\right.$=f_A（x）•f_B（x），
故④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．