Question

2．已知函数f（x）=asinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx（a＞0，ω＞0）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，得到的函数图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{8}$，则φ的值不可能为（　　）

• A． $\frac{5π}{24}$
• B． $\frac{13π}{24}$
• C． $\frac{17π}{24}$
• D． $\frac{23π}{24}$

Answer 1

分析 利用二倍角的正弦和余弦化简，由已知求得a的值，然后由平移后函数图象的对称轴为x=$\frac{π}{8}$得到φ的值，则答案可求．

解答 解：f（x）=asinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx=$\frac{a}{2}sin2$ωx$+\frac{\sqrt{3}}{2}cos$2ωx$+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{3}{4}}$sin（2ωx+φ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
依题意可得：$-\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{3}{4}}+\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a²+3=12，
∵a＞0，∴a=3．
故f（x）=$\frac{3}{2}sin$2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}sin（2ωx+\frac{π}{6}）+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
即f（x）=$\sqrt{3}sin（4x+\frac{π}{6}）+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，得到的函数图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{8}$，
即4（$\frac{π}{8}$+φ）+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，即φ=$-\frac{π}{24}+\frac{kπ}{4}，k∈Z$．
∴φ的值不可能为$\frac{13π}{24}$．
故选：B．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，考查了函数图象的平移，是中档题．