Question

13．已知n∈N^*，在坐标平面中有斜率为n的直线l_n与圆x²+y²=n²相切，且l_n交y轴的正半轴于点P_n，交x轴于点Q_n，则$\lim_{x→∞}\frac{{|{{P_n}{Q_n}}|}}{{2{n^2}}}$的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设切线l_n的方程为：y=nx+m，由于直线l_n与圆x²+y²=n²相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=n，取m=n$\sqrt{1+{n}^{2}}$．可得切线l_n的方程为：y=nx+n$\sqrt{1+{n}^{2}}$，可得P_n，Q_n，可得|P_nQ_n|．再利用数列极限的运算法则即可得出．

解答 解：设切线l_n的方程为：y=nx+m，
∵直线l_n与圆x²+y²=n²相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=n，取m=n$\sqrt{1+{n}^{2}}$．
∴切线l_n的方程为：y=nx+n$\sqrt{1+{n}^{2}}$，
∴P_n$（0，n\sqrt{1+{n}^{2}}）$，Q_n$（-\sqrt{1+{n}^{2}}，0）$．
∴|P_nQ_n|=$\sqrt{1+{n}^{2}+{n}^{2}（1+{n}^{2}）}$=1+n²．
∴$\lim_{x→∞}\frac{{|{{P_n}{Q_n}}|}}{{2{n^2}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1+{n}^{2}}{2{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{1}{{n}^{2}}+1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．