Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a≤b≤c，S为△ABC的面积，若3a²-4mS=3（b-c）²，则m的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意易得A∈（0，$\frac{π}{3}$]，由三角形的面积公式和余弦定理可得m=3×$\frac{1-cosA}{sinA}$，令t=$\frac{1-cosA}{sinA}$，由斜率公式和圆的方程可得t的最大值，进而可得答案．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a≤b≤c，
∴A≤B≤C，∴A∈（0，$\frac{π}{3}$]，
∵3a²-4mS=3（b-c）²，
∴m=$\frac{3}{4}$×$\frac{{a}^{2}-（b+c）^{2}}{S}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}+2bc}{\frac{1}{2}bcsinA}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，∴a²-b²-c²=-2bccosA，
代入上式可得m=$\frac{3}{4}$×$\frac{-2bccosA+2bc}{\frac{1}{2}bcsinA}$=3×$\frac{1-cosA}{sinA}$，
令t=$\frac{1-cosA}{sinA}$，则-$\frac{1}{t}$=$\frac{sinA}{cosA-1}$，
表示点（1，0）与（cosA，sinA）连线的斜率，
∵A∈（0，$\frac{π}{3}$]，∴（cosA，sinA）表示单位圆在（1，0）到（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）第一象限内的圆弧上的点，
∴-$\frac{1}{t}$=的最大值为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}{\frac{1}{2}-1}$=$-\sqrt{3}$，∴t=$\frac{1-cosA}{sinA}$的最大值为$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴m=3×$\frac{1-cosA}{sinA}$的最大值为$\sqrt{3}$
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和面积公式以及斜率的几何意义，属中档题．