Question

15．某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期（×月×日）将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：

统计信息	在不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）	在堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）	堵车的概率	运费（万元）
公路1	2	3	$\frac{1}{10}$	1.6
公路2	1	4	$\frac{1}{2}$	0.8

（Ⅰ）记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ（单位：万元），求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）如果你是牛奶厂的决策者，你选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？
（注：毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费）

Answer 1

分析 （I）若汽车走公路1．求出不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ，堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ，得到汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列．求出期望．
（II）设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η，不堵车时牛奶厂获得的毛收入η，堵车时牛奶厂获得的毛收入η，得到汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列，然后求出期望．推出结果．

解答 解：（I）若汽车走公路1．
不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6=18.4（万元）；
堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4（万元）．…（2分）
∴汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为

ξ	18.4	17.4
P	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$

E（ξ）=18.4×$\frac{9}{10}$+17.4×$\frac{1}{10}$=18.3（万元）．…（5分）
（II）设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η，则
不堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8+1=20.2（万元）；
堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8-2=17.2（万元）．  …（7分）
∴汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为

η	20.2	17.2
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

E（η）=20.2×$\frac{1}{2}$+17.2×$\frac{1}{2}$=18.7（万元）． …（10分）
∵E（ξ）＜E（η），
∴选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多． …（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算能力．