Question

17．证明二项式定理（a+b）ⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$C${\;}_{n}^{r}$a^n-rb^r，n∈N^*．

Answer 1

分析 （a+b）ⁿ，表示n个因式（a+b）的乘积，取出按b的升幂排列的各项的系数，即可证得等式成立．

解答 证明：由于（a+b）ⁿ，表示n个因式（a+b）的乘积，若每个因式都取a，即每个因式都不取b，即可得到aⁿ的项，故含aⁿ的项的系数为${C}_{n}^{0}$．
若这n个因式中有1个取b，其余的（n-1）个因式都取a，即可得到含a^n-1•b的项，故含a^n-1•b的项的系数为${C}_{n}^{1}$．
若这n个因式中有2个取b，其余的（n-1）个因式都取a，即可得到含a^n-2•b²的项，故含a^n-2•b²的项的系数为${C}_{n}^{2}$．
若这n个因式中有3个取b，其余的（n-1）个因式都取a，即可得到含a^n-3•b²的项，故含a^n-3•b³的项的系数为${C}_{n}^{3}$．
…，
若这n个因式都取b，即每个因式都不取a，即可得到含bⁿ的项，故含bⁿ的项的系数为${C}_{n}^{n}$．
故（a+b）ⁿ=${C}_{n}^{0}$•aⁿ+${C}_{n}^{1}$•a^n-1•b+${C}_{n}^{2}$•a^n-2•b²+…+${C}_{n}^{n}$•bⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$C${\;}_{n}^{r}$a^n-rb^r，n∈N^*．
∴（a+b）ⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$C${\;}_{n}^{r}$a^n-rb^r，n∈N^*成立．

点评 本题主要考查二项式系数的性质，（a+b）ⁿ 的意义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．