Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，则双曲线C的渐近线与圆D：（x-c）²+y²=2a²（c
为双曲线的半焦距）的位置关系为（　　）

• A． 相离
• B． 相切
• C． 相交
• D． 不确定

Answer 1

分析 由离心率公式和a，b，c的关系可得b=$\sqrt{2}$a，可得渐近线方程，由圆心D（c，0）到渐近线的距离，即可得到渐近线与圆相切．

解答 解：由e=$\sqrt{3}$，即有$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，即c²=3a²
，即a²+b²=3a²，即有b=$\sqrt{2}$a，
则双曲线的渐近线方程为y=$±\sqrt{2}$x，
圆心D（c，0）到渐近线的距离为d=$\frac{|\sqrt{2}c|}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$c．
由c=$\sqrt{3}$a，得d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\sqrt{3}$a=$\sqrt{2}$a．
则有渐近线与圆D相切．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的运用，同时考查直线和圆的位置关系的判断方法，属于中档题．