Question

13．在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点F，连结EF，AF，证明EF∥CD，EF∥AB，推出BE∥AF，通过直线与平面平行的判定定理证明BE∥平面PAD．
（2）证明DB⊥BC．PD⊥BC，然后证明BC⊥平面PBD．

解答 证明：（1）取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，
∴EF∥CD，且$EF=\frac{1}{2}CD=1$，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，
四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD
（2）平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD
在直角梯形ABCD中，$BD=BC=\sqrt{2}，DC=2$，
∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．