Question

对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题，其中正确命题序号为

 

．
①若函数f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若对x∈R，有f（x+1）=f（x-1），则y=f（x）直线x=1对称；
③若函数f（x-1）关于直线x=1对称，则函数f（x）为偶函数；
④函数f（x+1）与函数f（1-x）直线x=1对称．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用奇函数的性质（奇函数的图象关于点O（0，0）对称）与图象平移变换可判断①；
②f（x+1）=f（x-1）≠f（1-x），可判断②；
③y=f（x-1）的图象是将y=f（x）的图象向右平移一个单位得到的，依题意可判断③；
④举反例，f（x）=x时，f（1+x）=x+1，f（1-x）=1-x，这两条直线显然不关于x=1对称，可判断④．

解答： 解：①，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）的图象关于点O（0，0）对称；
又y=f（x-1）的图象是将y=f（x）的图象向右平移一个单位得到的，
∴f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称，故①正确；
②，∵f（x+1）=f（x-1）≠f（1-x），∴y=f（x）不关于直线x=1对称，故②错误；
③，∵函数y=f（x-1）关于直线x=1对称，
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，
∴函数f（x）为偶函数，故③正确；
④，函数f（x+1）的图象与函数f（1-x）的图象不关于直线x=1对称，
如f（x）=x时，f（1+x）=x+1，f（1-x）=1-x，这两条直线显然不关于x=1对称，故④错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查函数的对称性与奇偶性，考查分析与推理、运算能力，属于中档题．