Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

m

=（b，-

3 sinB

3

），

n

=（cosC，c），a=

m

•

n

．
（1）求B；
（2）若b=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形

分析：（1）运用向量的数量积的坐标公式和三角函数的诱导公式和同角公式，即可化简求得B；
（2）运用余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，即可得到最大值．

解答： 解：（1）由于

m

=（b，-

3 sinB

3

），

n

=（cosC，c），a=

m

•

n

，
即a=bcosC-

3 sinB

3

c，
所以sinA=sinBcosC-

3

3

sinBsinC，
即sin(B+C)=sinBcosC-

3

3

sinBsinC，
化简得tanB=-

3

，
所以B=120°；
（2）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得
3-ac=a²+c²，
因为3-ac=a²+c²≥2ac（当且仅当a=c时取等号），
所以ac≤1．
因此S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

4

（当且仅当a=c时取等号），
所以△ABC面积的最大值为

3

4

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查正弦定理和余弦定理和三角形面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，以及基本不等式的运用，属于中档题．