Question

20．已知sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），则sinαcosα=$\frac{3}{8}$，$\frac{cos2α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$的值为-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

Answer 1

分析 由sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），联立$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{1}{2}+cosα}\\{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：∵sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{1}{2}+cosα}\\{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{\sqrt{7}+1}{4}}\\{cosα=\frac{\sqrt{7}-1}{4}}\end{array}\right.$，
∴sinαcosα=$\frac{3}{8}$．
$\frac{cos2α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα-cosα）}$=-$\sqrt{2}（sinα+cosα）$=-$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{7}}{2}$=-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
故答案分别为：$\frac{3}{8}$；-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．