Question

15．如图，平面中两条直线l₁和l₂相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l₁和l₂的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：
①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）点有且仅有1个；
②若p=0，q=1，则“距离坐标”为（0，1）的点有且仅有2个；
③若p=1，q=2，则“距离坐标”为（1，2）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 ①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）点有且仅有1个，是l₁与l₂的交点O；
②若p=0，q=1，则“距离坐标”为（0，1）的点有且仅有2个，过直线l₁的一点M作l₂的平行线且到直线l₂的距离等于1，则满足条件的点M有且仅有2个，即可判断出正误；
③类比②可知：满足条件的点M₁，M₂，M₃，M₄，有且仅有4个，即可判断出正误．

解答 解：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）点有且仅有1个，是l₁与l₂的交点O，正确；
②若p=0，q=1，则“距离坐标”为（0，1）的点有且仅有2个，过直线l₁的一点M作l₂的平行线且到直线l₂的距离等于1，则满足条件的点M有且仅有2个，正确；
③若p=1，q=2，则“距离坐标”为（1，2）的点如图所示，过直线l₁的一点作l₂的平行线且到直线l₂的距离等于2，过直线l₂的一点作l₁的平行线且到直线l₂的距离等于1的直线相交于M₁，M₂，M₃，M₄，有且仅有4个，正确．
上述命题中，正确命题的个数是3．
故选：A．

点评 本题考查了新定义“距离坐标”、平行线的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与作图能力，属于中档题．