【题目】解答
(1)已知2sinx=sin( ﹣x),求
的值;
(2)求函数f(x)=ln(sinx﹣ )+
的定义域.
【答案】
(1)解:∵2sinx=sin( ﹣x)=cosx,
∴ =
=
=
(2)解:要使函数有意义,则 ,即
,
即 ,
即2kπ+ <x≤2kπ+
,或2kπ+
<x<2kπ+
,k∈Z,
即函数的定义域为(2kπ+ ,2kπ+
]∪(2kπ+
,2kπ+
),k∈Z
【解析】(1)根据条件得到cosx=2sinx,利用1的代换进行化简即可.(2)根据函数成立的条件即可求函数的定义域.
【考点精析】利用函数的定义域及其求法和函数的值域对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②
是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③
是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零;求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的.
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【题目】为调查某地人群年龄与高血压的关系,用简单随机抽样方法从该地区年龄在20~60岁的人群中抽取200人测量血压,结果如下:
高血压 | 非高血压 | 总计 | |
年龄20到39岁 | 12 | 100 | |
年龄40到60岁 | 52 | 100 | |
总计 | 60 | 200 |
(1)计算表中的、
、
值;是否有99%的把握认为高血压与年龄有关?并说明理由.
(2)现从这60名高血压患者中按年龄采用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,求恰好一名患者年龄在20到39岁的概率.
附参考公式及参考数据: =
P(k2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】下列结论正确的是
①在某项测量中,测量结果服从正态分布
.若
在
内取值的概率为0.35,则
在
内取值的概率为0.7;
②以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设
,其变换后得到线性回归方程
,则
;
③已知命题“若函数在
上是增函数,则
”的逆否命题是“若
,则函数
在
上是减函数”是真命题;
④设常数,则不等式
对
恒成立的充要条件是
.
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【题目】要得到函数y=2cosxsin(x+ )﹣
的图象,只需将y=sinx的图象( )
A.先向左平移 个单位长度,再将所有点的横坐标缩短为原来的
倍(纵坐标不变)
B.先向左平移 个单位长度,再将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)
C.先将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位长度
D.先将所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),再向左平移
个单位长度
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【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,
、
分别是它的左、右焦点,且存在直线
,使
、
关于
的对称点恰好是圆
:
(
,
)的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与抛物线
(
)相交于
、
两点,射线
、
与椭圆
分别相交于点
、
.试探究:是否存在数集
,当且仅当
时,总存在
,使点
在以线段
为直径的圆内?若存在,求出数集
;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线
上的点
对应的参数
,射线
与曲线
交于点
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点,
在曲线
上,求
的值.
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【题目】我们国家正处于老龄化阶段,“老有所依”也是政府的民生工程.为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布被制作成如图表.
(1)若采用分层抽样的方法,再从样本中不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人?
(2)据统计该市大约有的户籍老人无固定收入,且在各健康状况人群中所占比例相同,政府计划每月为这部分老人发放生活补贴,标准如下:
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元;
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元;
③不能自理的老人每人每月额外再发放生活补贴100元.
若用频率估计概率,设任意户籍老人每月享受的生活补贴为元,求
的分布列和数学期望.
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