Question

18．在边长为1的等边△ABC中，点P为边BC上一动点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为$-\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 将三角形放入坐标系中，求出对应点的坐标，利用向量数量积的坐标进行转化为一元二次函数进行求解．

解答 解：将三角形放入坐标系中，则B（0，0），C（1，0），A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵P为边BC上一动点，
∴设P（x，0），则0≤x≤1，
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{2}$-x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（-x，0）=x²-$\frac{1}{2}$x=（x-$\frac{1}{4}$）²$-\frac{1}{16}$，
∴当x=$\frac{1}{4}$时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最小值$-\frac{1}{16}$，
故答案为：$-\frac{1}{16}$．

点评 本题主要考查平面向量数量积的应用，利用坐标法建立坐标系转化为一元二次函数是解决本题的关键．