Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（3，1）．
（1）当θ=$\frac{π}{6}$时，求向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标；
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，且θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量坐标形式的运算法则，求得向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标．
（2）根据$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求得sinθ的值，可得cosθ的值，从而利用两角和的正弦公式求得sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）因为$θ=\frac{π}{6}$，∴$\overrightarrow{a}$=$（1，\frac{1}{2}）$，于是向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$2（1，\frac{1}{2}）+（3，1）=（5，2）$，
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$sinθ=\frac{1}{3}$，又因为$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$cosθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
所以$sin（2θ+\frac{π}{4}）=sin2θcos\frac{π}{4}+cos2θsin\frac{π}{4}=\frac{{8+7\sqrt{2}}}{18}$．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．