Question

3．已知圆O：x²+y²=1和点M（4，2）．以点M为圆心的圆被x轴截得的弦长为$2\sqrt{5}$．
（1）求圆M的方程；
（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在定点R，使得$\frac{PQ}{PR}$为定值？若存在，求出该点，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据以点M为圆心的圆被x轴截得的弦长为2$\sqrt{5}$，利用勾股定理即可求出圆M的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（2）假设存在这样的R点，设出R的坐标，并设出P的坐标，根据圆的切线垂直于过切点的半径得到三角形OPQ为直角三角形，根据勾股定理表示出PQ的长，然后利用两点间的距离公式表示出PR的长，设PQ与PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作（*），又因为P在⊙M上，所以把P的坐标当然到⊙M的方程中，化简后代入到（*）中，根据多项式对应项的系数相等即可求出R的坐标和λ的值．

解答 解：（1）∵以点M为圆心的圆被x轴截得的弦长为$2\sqrt{5}$，
∴圆的半径为r=$\sqrt{5+4}$=3，
∴⊙M的方程为（x-4）²+（y-2）²=9；
（2）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，
根据题意可得PQ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$，
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}}{\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}}$=λ，
即x²+y²-1=λ²（x²+y²-2ax-2by+a²+b²）（*），
又点P在圆上∴（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，代入（*）式得：
8x+4y-12=λ²[（8-2a）x+（4-2b）y+（a²+b²-11）]，
若系数对应相等，则等式恒成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}（8-2a）=8}\\{{λ}^{2}（4-2b）=4}\\{{λ}^{2}（{a}^{2}+{b}^{2}-11）=-12}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，λ=$\sqrt{2}$或a=0.4，b=0.2，λ=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴可以找到这样的定点R，使得$\frac{PQ}{PR}$为定值．
如点R的坐标为（2，1）时，$\frac{PQ}{PR}$比值为$\sqrt{2}$；点R的坐标为（0.4，0.2）时，比值为$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

点评 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题．