已知数列{an}满足:${a 1}∈{N^+}.{a 1}≤36$.且${a {n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a n}.{a n}≤18\\ 2{a n}-36.{a n}＞18\end{array}\right.$.记集合$M=\left\{{{a n}|n∈{N^+}}\right\}$(1)若a1=6.写出集合M的所有元素,(2)求集合M的元素� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．已知数列{a_n}满足：${a_1}∈{N^+}，{a_1}≤36$，且${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，记集合$M=\left\{{{a_n}|n∈{N^+}}\right\}$
（1）若a₁=6，写出集合M的所有元素；
（2）求集合M的元素个数的最大值．

分析（Ⅰ）若a₁=6，由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，M={a_n|n∈N^*}．可得a₂=2a₁=12，a₃=24，a₄=12，…，即可得出集合M的所有元素．
（Ⅱ）①由于集合M存在一个元素是3的倍数，不妨设a_k是3的倍数，由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，可归纳证明对任意n≥k，a_n是3的倍数．
②对a₁≤36，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36，{a}_{n}＞18}\end{array}\right.$，（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a_n＜36（n=2，3，…），由a₁是正整数，a₂=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}，{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18}\end{array}\right.$，可得a₂是2的倍数．从而当n≥2时，a_n是2的倍数．如果a₁是3的倍数，则对所有正整数n，a_n是3的倍数．如果a₁不是3的倍数，对所有正整数n，a_n不是3的倍数．进而得出．

解答解：（Ⅰ）若a₁=6，由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，M={a_n|n∈N^*}．
∴a₂=2a₁=12，a₃=2a₂=24，a₄=2×a₃-36=12，…，
故集合M的所有元素为6，12，24．
（Ⅱ）①∵集合M存在一个元素是3的倍数，∴不妨设a_k是3的倍数，
由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，可归纳证明对任意n≥k，a_n是3的倍数．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，∵a_k=2a_k-1，或a_k=2a_k-1-36，∴2a_k-1是3的倍数；于是a_k-1是3的倍数；
类似可得，a_k-2，…，a₁都是3的倍数；
从而对任意n≥1，a_n是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数
②对a₁≤36，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36，{a}_{n}＞18}\end{array}\right.$，（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a_n＜36（n=2，3，…）
∵a₁是正整数，a₂=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}，{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18}\end{array}\right.$，∴a₂是2的倍数．
从而当n≥2时，a_n是2的倍数．
如果a₁是3的倍数，则对所有正整数n，a_n是3的倍数．
因此当n≥3时，a_n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．
如果a₁不是3的倍数，对所有正整数n，a_n不是3的倍数．
因此当n≥3时，a_n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．
当a₁=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．
综上可得：集合M的元素个数的最大值是8．

点评本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、数的整除性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

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